Calculus (på svenska Integral och Differentialkalkyl) är matematik som beskriver rörelse och förändring.
Calculus uppfanns av Leibniz och Newton under andra halvan av 1600-talet och lade grunden för den vetenskapliga revolutionen under 1700-talet byggd på fysik, mekanik och matematik och som format industrisamhället.
Ladda ner och prova Matematik-IT appen Calculus1 om Du vill veta vem som först uppfann Calculus, Leibniz eller Newton, med mera!
Calculus finns i två former:
1. Symbolisk eller Analytisk Calculus (svårt):
- symboler skrivs för hand med papper o penna.
2. Numerisk Calculus (lätt):
- datorn räknar enligt datorprogram.
Det vanliga är att lära ut Analytisk Calculus vid universitet och högskola och detta ämne anses vara så svårt att det egentligen bara är professorer som kan rätt förstå och använda det, om ens det…
Men om nu Analytisk Calculus är för svårt för alla och då särskilt för unga elever, så är Numerisk Calculus tvärtom så lätt att man kan lära sig tekniken så snart man kan skriva enkla datorprogram, dvs så snart man lärt sig läsa och skriva, dvs från säg 7 års ålder.
Grunden ges i Spel9 som startar med följande datorprogram: Upprepa (med * lika med multiplikation eller “gånger”)
- x = x + v*dt eller x_ny = x_gammal + v*dt .
Här är dt ett (litet) tidsteg (tex 1 sekund) och v en ändring per tidsteg och x någonting som ändras från ett gammalt värde x_gammal till ett nytt värde x_ny = x_gammal + v*dt under ett tidsteg.
Här kan x vara position längs en linje/väg och v är då en hastighet och x förändras enligt formeln: vägändring = hastighet x tidsändring, enligt x = x + v*dt eller x_ny = x_gammal + v*dt.
Så snart man lärt sig gå har detta en direkt fysisk mening med frågor som (i) hur långt (vad är x)? och (ii) hur fort (vad är v)? I ett datorspel handlar det om var (position) på skärmen ett föremål är och hur fort det ändrar position (hastighet), där alltså x håller reda på positionen och v hastigheten och tidsteget dt är ändringen av tiden t. Testa Running.
Varje gång x = x+v*dt upprepas tar tiden t ett tick dt framåt (tex 1 sekund) till tiden t+dt och x ändras med v*dt.
Eftersom x_ny = x_gammal + v*dt kan skrivas x_ny – x_gammal = v*dt eller dx = v*dt om vi låter dx = x_ny – x_gamma vara ändringen av x. Datorprogrammet
- x = x + v*dt
uttrycker alltså (jämför med menybilden med Newton)
- dx = v*dt
- ändringen av x = dx = hastigheten v * ändringen av tiden = v*dt
- och man kallar x integralen av v.
Genom att dividera med tidsteget dt kan dx = v*dt skrivas
- dx/dt = v
- och dx/dt kallas derivatan av x.
Huvudproblemet i Calculus är nu:
- Givet v bestäm x = integralen av v, dvs
- Givet v bestäm x som uppfyller dx/dt = v, dvs
- Lös ekvationen dx/dt = v.
Vi kan här låta hastigheten v=v(t) bero på tiden t som ändras med tidsteget dt och dx = v*dt uttrycker då mer precist:
- x = x +v(t)*dt eller x(t+dt) = x(t) + v(t)*dt.
där alltså lösningen x=x(t) är en funktion av (beror på) tiden t.
Att lösa ekvationen dx/dt = v(t) är nu svårt att göra med Analytisk Calculus, såvida inte hastigheten v(t) har viss speciell form, men är alltid lätt med Numerisk Calculus helt enkelt genom låta datorn upprepa x = x+v(t)*dt. Ett datorprogram med en enda rad!
Huvudproblemet i Calculus, dvs att bestämma x(t) som löser dx/dt = v(t), är alltså lätt att lösa med Numerisk Calculus, så lätt att var och en kan skriva det datorprogram som ger lösningen = integralen x(t).
Man kan då med fog säga att om man kan skriva ett datorprogram som löser dx/dt = v(t), så har man också förstått en fundamental del av Calculus, på samma sätt som man kan säga att om man kan ratta en bil och trycka på gas och broms, så har man förstått en viktig aspekt av bilkörning, om än kanske inte allt.
Det är nu dags att titta närmare på Spel4 och Spel9 och ta ett stort steg framåt…
Att fundera på:
- Vad händer om man ändrar (ökar/minskar) tidsteget?
- Kan man låta hastigheten v bero inte bara på tiden t utan även på positionen x?
Vidare att fundera på: Tänk på att det är integralen x(t) av given (hastighet) v(t) som man beräknar med tidstegningen dx = v*dt. Man har då automatiskt att derivatan dx/dt av x(t) är lika med v(t). Med andra ord:
- Om man deriverar integralen x(t) av en funktion v(t), så får man tillbaka funktionen v(t), som man började med.
För att beräkna derivatan av en funktion x(t) kan man alltså (ofta) gå tillbaka till den ekvation dx/dt = v varur x(t) har uppkommit genom tidstegning. Detta istället för att direkt beräkna dx/dt, vilket kan vara knivigt då dt är litet, eftersom det inte går att dela med 0.
Leibniz World of Math 