Spel9: Derivata och Integral

midpointrule

Programmera tidsstegningen

  • x=x+v*dt eller dx = v*dt

för positionen x med olika val av hastigheten v och tidssteget dt.  Börja med v=1 och dt = 1 och plotta x på skärmen. Välj sedan v = t, v = t^2, v = t^3 osv. Jämför med Spel4.

Notera att v*dt kan tolkas som ytan av en rektangel med bas dt och höjd v* och att därför x kan tolkas som en summa av rektangelytor som tillsammans bildar ytan under hastighetskurvan.

Notera att tidsstegningen dx = v*dt kan skrivas dx/dt = v där dx/dt kallas derivatan av x med avseende på t, dvs

  • derivatan av positionen med avseende på tiden är lika med hastigheten.

Omvänt säger man att

  • Positionen x är integralen av hastigheten v om dx/dt = v.

Tidsstegningen dv =a*dt med v hastighet och a acceleration kan alltså uttryckas på följande sätt:

  • derivatan av hastigheten med avseende på tiden är lika med accelerationen
  • hastigheten är integralen av accelerationen.

Derivatan dx/dt anger hur snabbt positionen ändras (dx) med ändring av tiden (dt), vilket ju är hastigheten v=dx/dt, och dv/dt anger hur snabbt hastigheten ändras (dv) med tiden (dt), vilket är accelerationen a=dv/dt.

Notera att om dx = v*dt, eller dx/dt = v, så gäller att

  • positionen x är integralen av derivatan dx/dt av x
  • hastigheten v är derivatan av integralen x av v.

Jämför med:

  • barnet V är avkomma (barn) till föräldrarna X
  • föräldrarna X är upphov (föräldrar) till barnet V
  • X = upphov till avkomma till  X
  • V = avkomma till upphov  till V.

Jämför med Calculus2 på App Store.

Template 1: (Följ tidsstegningen för dx=vdt med v=t,  för dt=1 och för dt=0.2)

function setup()

x = 0
v = 0
dt = 1
n=0
print(“Touch för att tidsstega dx=vdt med v=t”)

end

function draw()

fill(255,0,0,0,255)
rect(n*dt*20,200,20*dt,v*5)
ellipse(n*dt*20,200+x*5,10)
fill(0,255,0,255)
ellipse(n*dt*20, 200+v*5,10)
end

function touched(touch)

n=n+1
v=n*dt
x=x+v*dt

end

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s